Razão
razão = a ÷ b, com b ≠ 020 funcionários ÷ 5 gestores = 4. Há 4 funcionários para cada gestor.
Revisão didática de razão, proporção, porcentagem, regra de três e funções. Cada módulo mostra a ideia, a fórmula e um exemplo resolvido.
Razão compara quantidades por divisão. Proporção afirma que duas razões são iguais.
razão = a ÷ b, com b ≠ 020 funcionários ÷ 5 gestores = 4. Há 4 funcionários para cada gestor.
a/b = c/d ⇒ a·d = b·cO produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Direta: as duas aumentam juntas.
Inversa: uma aumenta e a outra diminui.
Composta: três ou mais grandezas.
Multiplique cruzado: 3 × 20 = 5x.
Calcule: 60 = 5x.
Divida por 5: x = 12.
Transforme o percentual em fator de multiplicação.
25% = 25/100 = 0,25valor × (1 + p/100)20% usa o fator 1,20.
valor × (1 − p/100)20% usa o fator 0,80.
Primeiro fator: 0,80.
Segundo fator: 0,85.
0,80 × 0,85 = 0,68. O cliente paga 68%; desconto real = 32%.
A regra de três encontra um valor desconhecido quando duas ou mais grandezas estão relacionadas. Antes de calcular, precisamos descobrir se elas caminham juntas, em sentidos opostos ou se existem mais de duas grandezas.
| Tipo | Como reconhecer | Pergunta para conferir |
|---|---|---|
| Direta | As duas grandezas aumentam juntas ou diminuem juntas. | Se uma dobrar, a outra também dobra? |
| Inversa | Quando uma grandeza aumenta, a outra diminui. | Se uma dobrar, a outra cai pela metade? |
| Composta | O problema possui três ou mais grandezas relacionadas. | Há quantidade, tempo e produção no mesmo cálculo? |
Situação: 4 licenças de um sistema custam R$ 320. Quanto custarão 7 licenças, mantendo o mesmo preço por unidade?
Reconheça: mais licenças geram maior custo. As duas grandezas aumentam juntas; portanto, a relação é direta.
Organize na mesma ordem: 4 licenças → R$ 320; 7 licenças → x.
Multiplique em cruz: 4x = 7 × 320 = 2.240.
Isole x: x = 2.240 ÷ 4 = R$ 560.
4/7 = 320/x ⇒ 4x = 2.240 ⇒ x = R$ 560Interpretação: cada licença custa R$ 80. Logo, sete licenças custam R$ 560.
Situação: 5 funcionários concluem uma tarefa em 12 horas. Em quanto tempo 10 funcionários fariam a mesma tarefa, trabalhando no mesmo ritmo?
Reconheça: mais funcionários significam menos tempo. Uma grandeza aumenta enquanto a outra diminui; a relação é inversa.
Mantenha o trabalho total: funcionários × horas permanece constante.
Monte o cálculo: 5 × 12 = 10 × x.
Resolva: 60 = 10x; então x = 60 ÷ 10 = 6 horas.
5 × 12 = 10 × x ⇒ 60 = 10x ⇒ x = 6 hInterpretação: ao dobrar a equipe de 5 para 10 pessoas, o tempo cai pela metade, de 12 para 6 horas.
Situação: 4 máquinas produzem 2.400 panfletos em 30 minutos. Quantos panfletos 6 máquinas produzirão em 45 minutos, mantendo o mesmo ritmo?
Reconheça: existem três grandezas: máquinas, tempo e panfletos. Mais máquinas e mais tempo aumentam a produção.
Descubra a produção básica: 4 máquinas trabalhando 30 minutos representam 4 × 30 = 120 máquina-minutos.
Calcule a taxa: 2.400 ÷ 120 = 20 panfletos por máquina a cada minuto.
Calcule a nova capacidade: 6 máquinas × 45 minutos = 270 máquina-minutos.
Encontre a produção: 270 × 20 = 5.400 panfletos.
Taxa = 2.400/(4×30) = 20
Nova produção = 6×45×20 = 5.400 panfletosInterpretação: o resultado aumentou porque agora há mais máquinas e elas trabalham por mais tempo.
f(x) = ax + bIndica quanto o resultado muda a cada unidade. a > 0 cresce; a < 0 decresce.
É o valor quando x = 0 e onde a reta corta o eixo y.
L(x) = Receita − CustoNão esqueça o custo fixo.
R(x)=95x
C(x)=45x+12.000
L(x)=50x−12.000Cada unidade deixa R$ 50 para pagar o custo fixo. Após o ponto de equilíbrio, essa margem vira lucro.
Nos negócios, a parábola ajuda a estudar situações que crescem até um limite e depois diminuem, como receita por preço, lucro por produção e aproveitamento de recursos.
f(x)=ax²+bx+c, com a ≠ 0a > 0 abre para cima e tem mínimo. a < 0 abre para baixo e tem máximo.
Δ=b²−4ac
x=(−b±√Δ)/2aEm negócios, podem indicar preços ou quantidades em que o resultado é zero.
xᵥ=−b/2a
yᵥ=f(xᵥ)Se a < 0, o vértice mostra o ponto de máximo.
a=1, b=−5, c=6. Como a > 0, abre para cima.
Δ=25−24=1. Pela fórmula: raízes 2 e 3.
xᵥ=2,5 e yᵥ=−0,25. Vértice: (2,5; −0,25).
Suponha que a procura estimada seja de 1.000 clientes a preço zero e caia 20 clientes a cada R$ 1 acrescentado ao preço.
Monte a função procura: D(p)=1.000−20p.
Receita é preço × procura: R(p)=p·D(p).
Substitua: R(p)=p(1.000−20p)=−20p²+1.000p.
Como a=−20, a parábola abre para baixo. Existe um valor máximo.
Preço do vértice: pᵥ=−1.000÷[2·(−20)]=R$ 25.
Procura: D(25)=500 clientes. Receita máxima: 25×500=R$ 12.500.
R(p)=−20p²+1.000p
V=(25; 12.500)O preço está no vértice: maior receita deste modelo.
São 12 questões, das mais diretas às aplicações em preço, procura, receita e lucro. Responda, confira e abra o passo a passo.
Anote números, unidades e o pedido.
Percentual, direta, inversa, composta ou função?
Escolha a fórmula e substitua os valores.
Revise sinal, unidade e sentido da resposta.